VARIEDADE E GEOMETRIA GRACELI DINÂMICA TOPODIMENSIONAL RELATIVISTA.

Flor de maracujá

EM QUE AS FORMAS E ESTRUTURAS VARIAM E ENCURVAM CONFORME UM SISTEMA DINÂMICO E EM RELAÇÃO AS TOPODIMENSÕES GRACELI, LEVANDO A UM RELATIVISMO.

TDG = TOPODIMENSÕES GRACELI = TENSORES DE GRACELI, LUZ, ILUMINAÇÃO, REFLETÂNCIA, SENTIDO DA LUZ, SOMBRAS, REFLEXOS, DEFLEXÕES, DISTANCIAMENTOS E MOVIMENTOS DE OBSERVADORES, E SUAS POSIÇÕES.

Em VARIEDADE E GEOMETRIA GRACELI DINÂMICA TOPODIMENSIONAL RELATIVISTA.  , uma variedade de GRACELI (a designação variedade GRACELI também é encontrada) é uma variedade diferenciável real na qual cada espaço tangente é dotado de um produto interior de maneira que varie suavemente ponto a ponto. Isto permite que se definam várias noções métricas como comprimento de curvas, ângulos, áreas (ou volumes), curvaturas, gradientes de funções e divergência de campos vetoriais. E EM QUE AS FORMAS E ESTRUTURAS VARIAM E ENCURVAM CONFORME UM SISTEMA DINÂMICO E EM RELAÇÃO AS TOPODIMENSÕES GRACELI, LEVANDO A UM RELATIVISMO.

TDG = TOPODIMENSÕES GRACELI = CORES, MOVIMENTOS, TENSORES DE GRACELI, LUZ, ILUMINAÇÃO, REFLETÂNCIA, SENTIDO DA LUZ, SOMBRAS, REFLEXOS, DEFLEXÕES, DISTANCIAMENTOS E MOVIMENTOS DE OBSERVADORES, E SUAS POSIÇÕES.

Uma variedade de GRACELI é uma generalização do conceito métrico, diferencial e topológico do espaço DE GRACELI a objetos geométricos que localmente tem a mesma estrutura que o espaço DINAMICO VARIACIONAL DE GRACELI, mas globalmente podem representar forma "curva". Com efeito, os exemplos mais simples de variedades de GRACELI  são precisamente superfícies curvas E MUTÁVEIS de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ + TDG , e subconjuntos abertos de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$+ TDG.

A estrutura matemática da geometria GRACELI permite estender a subconjuntos curvos ou hipersuperfícies do espaço DE GRACELI TOPODIMENSIONAL, as noções métricas de comprimento de uma curva, área de uma superfície, (hiper)volume ou ângulo entre duas curvas. Isto é realizado definindo-se em cada ponto um objeto matemático chamado tensor métrico TDG E TENSOR DE GRACELI, que permite especificar um procedimento para medir distâncias, e portanto definir qualquer outro conceito métrico baseado em distâncias e suas variações.

O comprimento de uma curva ${\displaystyle \gamma (t)}$ é definido pela integração dos comprimentos dos vetores tangente em cada curva de tempo ${\displaystyle t}$.

Do ponto de vista matemático una variedade de GRACELI é um tripleto do tipo:

${\displaystyle ({\mathcal {M}},\{\phi _{\alpha }\},g)}$ [TG + TDG] .

Onde:

TG = TENSOR DE GRACELI COMO ENERGIAS, CAMPOS, ONDAS, DINAMICAS, E OUTROS.

${\displaystyle ({\mathcal {M}},\{\phi _{\alpha }\})}$ é uma variedade diferenciável na que se tenha especificado o conjunto de cartas locais.

${\displaystyle g\,}$ é uma aplicação bilinear definida positiva desde o espaço tangente à variedade: ${\displaystyle g:TM\times TM\to \mathbb {R} .}$

Em particular, a métrica g permite definir em cada espaço tangente uma norma ||.|| mediante

${\displaystyle ||X||={\sqrt {g(X,X)}}.}$ [TDG + TG]

Variedades GRACELI como subvariedades

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {f} (u^{1},\dots ,u^{m}),\ {\mbox{con}}\ x^{i}=f_{i}(u^{1},\dots ,u^{m})\ i\in \{1,\dots ,n\}}$[TDG + TG]

${\displaystyle G={(\phi _{\alpha })}_{*}(g)=D\mathbf {f} ^{T}D\mathbf {f} ,\qquad G=\sum _{i,j=1}^{m}G_{ij}du^{i}\otimes du^{j}}$[TDG+TG]

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}\|\gamma '(t)\|\;dt}$ [TDG+TG]

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{i,j}g_{ij}x'_{i}(t)x'_{j}(t)}}\ dt}$ [TDG + TG]

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{dt^{2}}}+\sum _{\sigma ,\nu }\Gamma _{\sigma \nu }^{\mu }{\frac {dx^{\sigma }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0}$ [TDG+ TG]

Comprimento, ângulo e volume

Em uma variedade riemanniana a existência de um tensor métrico permite estender as noções euclideanas de comprimento, ângulo entre duas curvas em um ponto (ou dois vetores do espaço tangente de um ponto) ou o volume de uma região desta variedade.

• O comprimento de um segmento de uma curva dada parametrizada por ${\displaystyle t\,}$, desde ${\displaystyle a\,}$ até ${\displaystyle b\,}$, é definido como:

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}}\ dt}$ [TDG + TG]

• 
  

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {|g_{ij}U^{i}U^{j}||g_{ij}V^{i}V^{j}|}}}}$[TDG +TG]

• 
  

${\displaystyle V_{R}=\int _{R}{\sqrt {|g|}}\ dx^{1}\land dx^{2}\land ...\land dx^{n}}$ [TDG +TG]:

${\displaystyle {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }}$ [TDG +TG]

${\displaystyle g_{ij}(x)=\delta _{ij}-{\frac {1}{3}}R_{iklj}x^{k}x^{l}+O(|x|^{3})}$ [TDG + TG]